Proofs of two conjectures of Kenyon and Wilson on Dyck tilings

Recently, Kenyon and Wilson introduced a certain matrix M in order to compute pairing probabilities of what they call the double-dimer model. They showed that the absolute value of each entry of the inverse matrix M−1 is equal to the number of certain Dyck tilings of a skew shape. They conjectured two formulas on the sum of the absolute values of the entries in a row or a column of M−1. In this paper we prove the two conjectures. As a consequence we obtain that the sum of the absolute values of all entries of M−1 is equal to the number of complete matchings. We also find a bijection between Dyck tilings and complete matchings. Résumé. Récemment, Kenyon et Wilson ont introduit une certaine matrice M afin de calculer des probabilités d’appariement dans ce qu’ils appellent le modèle double-dimère. Ils ont montré que la valeur absolue de chaque entrée de la matrice inverse M−1 est égal au nombre de pavages de Dyck d’une certaine forme gauche. Ils ont conjecturé deux formules sur la somme des valeurs absolues des entrées dans une rangée ou une colonne de M−1. Dans cet article, nous prouvons les deux conjectures. En conséquence on obtient que la somme des valeurs absolues de toutes les entrées de M−1 est égale au nombre de couplages parfaits. Nous trouvons aussi une bijection entre les pavages de Dyck et les couplages parfaits.